Phép biến đổi hình học

Điểm A	Vector tịnh tiến	Quay góc $60^o$quanh B	Chuyển trí theo ma trận	Giá trị tỉ lệ từ B theo $(x,y)$
$(-3,2)$	$(2,3)$	$(-1,5)$	$\begin{bmatrix} cos(60^o) & sin(60^o) \\ -sin(60^o) & cos(60^o) \end{bmatrix}$	$(-2,0)$

Ta có ma trận điểm $A = \begin{bmatrix}-3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$

Thực hiện vector tịnh tiến

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1&0 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}$$

Khi đó điểm $A_1$của phép tịnh tiến điểm $A$ là

$A_1 = \begin{bmatrix}-3 &2&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\2&3&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1&5 &1\end{bmatrix}$

Quay góc $60^0$ xung quanh B

Ta có $B = \begin{bmatrix} -1 &5 & 1 \end{bmatrix} \equiv A_1$ do đó $A_1$quay quanh chính nó nên không có ma trận phép quay

Quay $A_1$ xung quanh $A$ một góc $60^o$

bây giờ ta sẽ thực hiện liên tiếp các phép biến đổi

• Ma trận tịnh tiến để dịch chuyển tâm quay về gốc tọa độ

• Thực phiện ma trận quanh

• Ma trận tịnh tiến để đưa tâm quay về vị trí cũ

Ta có ma trận của phép biến đổi

$$\begin{bmatrix} 1 &0&0\\0&1&0 \\ 3 & -2 &1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} cos(60^o) & sin(60^o) & 0\\ -sin(60^o) & cos(60^o) & 0 \\ 0 &0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 &0&0\\0&1&0 \\ -3 & 2 &1\end{bmatrix}$$

Rút gọn ma trận ta có

$$\begin{bmatrix} \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2} &0 \\ -\frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2} &0 \\ \frac{2\sqrt{3}-3}{2} & \frac{3\sqrt{3}+2}{2} &1 \end{bmatrix}$$

Do đó ta có điểm $A_2 = \begin{bmatrix} -1&5 &1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2} &0 \\ -\frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{1}{2} &0 \\ \frac{2\sqrt{3}-3}{2} & \frac{3\sqrt{3}+2}{2} &1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{ -3\sqrt{3} - 4 }{2} &\frac{ 2\sqrt{3} + 7 }{2} &1 \end{bmatrix}$

Giá trị tỷ lệ từ B theo $(x,y)$

Ta có liên tiếp các phép biến đổi

• Tịnh tiến điểm B về gốc tọa độ

• Tỷ lệ theo điểm B

• Tịnh tiến điểm B về vị trí cũ

Ta có ma trận phép biến đổi

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 &0\\ 1 & -5 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 &0\\ -1 & 5 & 1 \end{bmatrix}$$

Rút gọn ma trận ta có

$$\begin{bmatrix}-2 & 0 & 0 \\ 0 &0&0\\-3&5&1 \end{bmatrix}$$

Vậy ta có điểm $A_2 = \begin{bmatrix} \frac{ -3\sqrt{3} - 4 }{2} &\frac{ 2\sqrt{3} + 7 }{2} &1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}-2 & 0 & 0 \\ 0 &0&0\\-3&5&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}3\sqrt{3} + 1 & 5&1 \end{bmatrix}$